Contoh Soal Matematika Mengenai Pembuktian Pernyataan

Contoh Soal Pembuktian Pernyataan - Pembahasan kali ini yaitu mengenai contoh soal dalam membuktikan pernyataan benar atau salah dengan menggunakan induksi matematika. Dimana dalam metode ini, digunakan untuk menarik suatu kesimpulan berdasarkan atas kebenaran atau kesalahan  pernyataan yang berlaku tersebut. Variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. Untuk lebih jelasnya simaklah baik-baik contoh soal berikut!

Contoh Soal !

1.Buktikan bahwa 2ⁿ > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n > 5 !

Jawab:
Untuk n = 5, kita peroleh 2⁵ > 5 + 20  adalah suatu pernyataan yang benar.
Misalkan 2 png k > k = 20 adalah benar
Sekarang diperoleh 2^k+1 = 2.2k > 2 (k + 20) = 2k + 40 > (k + 1) + 20
Maka dapat disimpulkan bahwa 2ⁿ > n + 20 adalah benar untuk n > 5 .

2. Buktikan bahwa Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) untuk semua bilangan bulat n > 1 !

Jawab:
Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k²
Kita harus menunjukan bahwa rumus Sk + 1 = k + 1² benar
Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... +  (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1)
           = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 2 - 1)
           = Sk + 2k + 1 = k² + 2k + 1
           = (k + 1 )²
Dapat disimpulkan bahwa rumus di atas benar untuk semua bilangan bulat.

3.  Buktikan bahwa :
1 + 2 + 3 + ... + n = 2 - n + 2
2   2⁴    2³         2ⁿ           2ⁿ

Jawab:
=> 1 = 2 - (1) + 2 = 2 - 3
                  2¹             2
1  = 1 (terbukti)
2     2

=> n - k
1 + 2 + ... + 2 = 2 - k + 2
2    2²          2^k          2^k

=> (n = k + 1)
1 + 2 + 3 + .... + k + k +1 = 2 - k + 3
2   2²    2³           2^k   2^k+1         2^k+1
Dibuktian dengan:
1 + 2 + 3 + .... + k + k + 1 = 2 - k + 2 + k + 1
2    2²  2³            2^k    2^k+1      2 ^k           2 ^k+1
        (kedua ruas dikali k + 1
                                         2 ^k+1
= 2 -  2 (k + 2) + (k + 1) ( 2k dimodifikasi menjadi 2^k+1)
          2(k +1)       2 k+1
= 2 - 2k + 4 + k + 1
           2^k+1      2^k+1
= 2 + k + 1 - (2k + 4)
             2^k+1
= 2 - k + 3
      2^k+1
(terbukti).

4. Jika premis 1 : y = 2x + 3, dan premis 2 : x = 2 (2) + 3 = 7 maka tentukan kesimpulannya!

Jawab:
Kesimpulan : y = 2 (2) + 3 = 7
Jika kita berasumsi bahwa premis 1 adalah benar dan premis 2 benar maka kesimpulannya bahwa y = 7 juga merupakan kesimpulan yang valid.

5. Buktikan bahwa :
1³ + 2³ + ... + n³ = 1 n ² (n + 1)² !
                               4

Jawab:
Langkah 1
= 1³ = 1 (1) ² (1 + 1)² = 2²
           4                          4
        = 1 = 1 (terbukti)

Demikianlah pembahasan materi mengenai Contoh Soal Pembuktian Pernyataan. Semoga apa yang kami berikan di atas dapat membantu adik-adik dalam mengerjakan latihan-latihan soal terkait materi yang diberikan.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat !